6.1 Wissen und Denken bei Aufgaben...

Aufgaben können gelöst werden, indem wir Algorithmus in Gedächtnis rufen.Bei Problemen können wir aber auch versuchen durch Nachdenken neue Informationen einzuarbeiten $\Rightarrow$ Wissenserweiterung $\Rightarrow$ Denken und Wissen ergänzen sich

Subraktionsaufgaben und Waagebalkenaufgaben als Beispiele

am Beginn einer Beschäftigung mit einem algorithmisch lösbarem Aufgabentyp gibt es oft systematische Fehler, die sich mit der übung auflösen.

inwieweit kann man von Ergebnis auf algorithmus schließen

eine richtigen Lösung kann auf sehr unterschiedliche Weise zustande kommen, größer sind noch die Ursachen, wie eine falsche Lösung zustande kam.(hier sind neben systematischen Fehlern auch unsystematische zu berücksichtigen) Auch bei Waagebalkenaufgabe kann nur das Gewicht beachtet werden oder auch wo sie hängen $\Rightarrow$ Theorien von Lösungsverhalten: relevat für pädagogische Interventionen, um gezielt systematische Fehler auszumerzen

Typen von Daten, Sprachen der Theorienformulierung

was wird untersucht, welche Anhaltspunkte für die Theorien sind vorhanden, welche Daten behandeln die Theorien

Richtigkeit der Lösung, Art des Fehlers

Manifestation des Prozesses der Aufgabenbearbeitung(schriftliche Lösungen (Geometrie))

Erfassung der Augenbewegungen

Lösungszeit

Methode des lauten Denkens

formale Modelle zur Rekonstruktion des beim Menschen beobachteten Lösungsverhalten

Ein Lösungszeitmodell

was passiert mit Kindern, erste Klasse, die 2+3, 4+4, im Kopf rechnen. Wird die Lösung konstruktiv ermittelt oder ruft das Kind das ergebnis einfach ab ? $\Rightarrow$ nur die Lösungszeit kann hier Aufschluß geben

Das entwickelte Modell von Groen und Parkman betrachtet Addition von Zahlen 0-9.

Es gibt einen mentalen Zähler der gesetzt werden kann oder in Einerschritten erhöht wird

Variante A

Zähler auf 0; m mal um 1 erhöht anschließend n mal um 1 erhöht $\Rightarrow$ m+n

Variante B

Zähler auf m setzen, n mal um 1 erhöhen $\Rightarrow$ m+n

Variante C

Zähler wird auf max(m,n) gesetzt und dann um min(m,n) mal um 1 erhöht $\Rightarrow$ m+n

Zeit zum Anheben des Zählers:

A: $x=m+n$; B: $x=n$; C: $x=min(m,n)$

es wird angenommen, daß die unterschiedlichen Lösungszeiten nur vom Anheben des Zähler herrühren. Die anderen Wahrnehmungen(Zähler setzen, Vergleichsoperation ) werden als konstant gesehen(von Variante zu Variante verschieden) $\Rightarrow$

   Lösungszeit von Kind v $$:= t_{vi}=a_{vj}+b_{v}*x_{ij}$$

mit $a_{vj}=$Zeitkonstante unter Variable j
$b_{v}=$Zeitkonstante zur Anhebung des Zählers um 1
$x_{ij}=$ Häufigkeit der Anhebung des Zählers bei Aufgabe i unter Variante j

Alle möglichen Aufgabenstellungen wurden Klassifiziert nach x=Anhebungen des Zählers in Variante C und es wurde eine Gerade gezeichnet, die die Lösungszeiten (Variante C) der Kinder vorhersagen sollte.

am Ende wurden 20 der 39 Kinder das Lösungsverhalten in C zugeschrieben, den anderen konnte keine Variante zugeordnet werden

Die Mehrzahl der Kinder dieses Alters ermitteln die Lösung konstruktiv. Sie verwenden einen effizienten Algorithmus, der nicht unterrichtet worden war.

Problematisch

einer Indikatorzeit stehen viele Unbekannte gegenüber; bei Erwachsenen nicht klar, ob konstruktiv oder Abrufen $\Rightarrow$ Addition und Multiplikation in Netzwerk wenn Zahlen, wie aus Tabelle abrufen

Ein Wahrscheinlichkeitsmodell der Lösungsrichtigkeit

es wird die Richtigkeit des Ergebnisses zur Bewertung der Bearbeitung herangezogen.

die Schwierigkeit einer Aufgabe wird gemessen anhand: Anzahl und Schwierigkeit der den Lösungsprozeß konstituierenden kognitiven Operationen. Es wird

die Schwierigkeit einer Aufgabe als Wahrscheinlichkeit ihrer Lösung definiert

die Schwierigkeit einer Operation als Wahrscheinlichkeit ihrer korrekten Anwendung

die Aufgabenlösungswahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit richtiger Lösungen von Probanden

Suppes: Wahrscheinlichkeit der richtigen Lösung $:=$
[hier fehlt Bild]

aj = Wahrscheinlichkeit einer falschen Anwendung von Operation j
fij = Häufigkeit mit der Operation j in Aufgabe i vorkommt $\Rightarrow$ Schätzung der Operationsfehlerwahrscheinlichkeit: anhand der multiple lineare Regressionsanalyse: sei die relative Häufigkeit richtig gelöster Aufgaben = ri $\Rightarrow$ ri = Pi es gilt: [hier fehlt Bild] $\Rightarrow$ Gleichungssystem aus dem die Fehlerwahrscheinlichkeit berechnet werden kann. (Test, wenn Fehlerhäufigkeiten sich bei einem neuen Satz Aufgaben bestätigen)

Für das addieren zweier mehrstelliger Zahlen wurden drei Fehlertypen unterschieden:

Operation 1

richtig oder falsches addieren zweier Zahlen und festhalten der Addition

Operation 2

korrekte Bildung bzw. irrtümliche Unterlassung eines übertrages

Operation 3

korrekte Unterlassung bzw. irrtümliche Bildung eines übertrages

Für diese Operationen wurde mit der Formel eine Fehlerwahrscheinlichkeit ermittelt (2 war am häufigsten)

Daraus läßt sich dann die Fehlerwahrscheinlichkeit der Aufgabe errechnen

Probleme dieses Modells

Operationsfehlerwahrscheinlichkeiten werden unabhängig von der Aufgabe und der Stelle an der sie auftreten betrachtet

Operationsfehlerwahrscheinlichkeiten werden als konstant über alle Probanden betrachtet

Reihenfolge der Operanden wird nicht beachtet

Modelle zur Rekonstruktion richtiger und falscher Lösungen

Symbolisch formulierte kognitionswissenschaftliche Modelle:

richtige Lösungen $\Leftarrow$ Beherrschung und korrekte Anwendung eines Lösungsalgor.

Falsche Bearbeitung $\Leftarrow$korrekte Ausführung eines fehlerhaften od. unvollst. Lösungsalg.

kognitive Strukturen und Operationen werden explizit repräsentiert

die Modelle sind symbolisch und nicht numerisch formuliert

oft für jede einzelne Person ein individuelles Modell

ist oft automatisiert

fehlerhafte Lösungen werden auf mangelndes Wissen zurückgeführt

es wird davon ausgegange, daß Schüler deswegen zur falschen Lösung kommen, weil sie falsche Prozeduren anwenden und weniger weil sie die Prozedur falsch machen $\Rightarrow$ Schüler kann korrigiert werden indem man ihm seine richtigen und falschen Teilschritte zeigt anstatt bloß das Ergebnis.

Beispiele symbolischer Modelle

Brown und Burton

. Prozedurales Netzwerk: besteht aus einer Menge Knoten, die die Prozeduren repräsentieren. Diese sind durch Aufrufbeziehungen miteinander verbunden.Jede Prozedur hat einen beschreibenden Teil und ein realsierten Teil, der die Prozedur ausführt (LISP-Programm)

Fehlwissen kann auf dieselbe Art und Weise repräsentiert werden

eine richtige Prozedur wird durch eine falsche ersetzt, der wechselseitige Aufruf der Prozeduren ist fehlerhaft, die Abarbeitung geschieht in einer falschen Reihenfolge.

Brown und Burton analysierten 110 einfache fehlerhafte Prozeduren und 270 zusammengesetzte

individuelles Schülermodell

lasse Schüler Aufgaben rechen, gebe seine Aufgaben in ein Netzwerk, daß alle richtigen und alle falschen Prozeduren berücksichtigt $\Rightarrow$ stimmt die Lösung einer Aufgabe überein $\Rightarrow$ Angewandter Algorithmus des Schülers ist entdeckt

39 % der untersuchten waren Feheler von 1 bis 2 falschen Prozeduren, 12 % machten alles richtig, bei 35% keine Rückführung auf das Antwortverhalten möglich. $\Rightarrow$ doch mit einer beträchtlichen Zahl unsystematischer Fehler zu rechnen. Aber, die vorgelegten Aufgaben waren für einen Teil der Fehler nicht geeignet und immerhin 39% kann systematisch im Unterricht geholfen werden.

Offene Fragen: das Netzwerk stellt Architektur bereit, die zeigt wann Fehler auftreten, sie kann diesen Fehler aber nicht erklären, zudem würden einige Fehler eine änderung der starren Konollstrukturen des Modells erfordern

Die Studie von Young und O'Shea

Produktionssysteme umfassen

einen oder mehrere Datenspeicher

ein oder meherer Produktionssysteme

einen Interpreter

Der Produktionsspeicher enthält Wissen in Form von Wenn..Dann Regeln. Der Wenn Teil einer Regel wird im Datenspeicher nachgeprüft wenn er zutrifft wird die Dann Aktion im Dateinspeicher festgehalten und geprüft welche Wenn-Dann-Regeln nun zur Ausführung kommt. Kommt es zum Konflikt, da mehrere Wenn-Teile erfüllt, ist es die Aufgabe des Interpreters zu entscheiden welche Regeln zuerst ausgeführt wird

die Wenn-Dann-Regeln sind sehr flexibel: sie beinhalten operatives und Kontrollwissen, während bei den Netzwerken die Knoten nur operatives Wissen, die Kontrolle aber starr durch die Verbindungen gegeben waren. Erweiterung des Produktionssystems somit auch kein Problem:Modularität

falsche Lösungen:

kommen durch Weglassen richtiger Produktion, Veränderung richtiger Produktionen(Wenn oder Dann) durch hinzufügen falscher Produktionen

Diagnose individuellen Wissens

Rückschluß von bearbeiteten Aufgaben auf die Menge richtiger und falscher Produktionen eines Schülers.

von 178 relevanten systematischen Fehlern konnte durch nur 8 Produktionssysteme 160 korrekt vorhergesagt werden. Neben dem korrekten Produktionssystem wurden am häufigsten diese identifiziert:

korrekte Produktionen aber ohne B2A und mit falscher B2B

korrekte Produktionen aber mit ZNN

korrekte Produktionen aber ohne CM bzw.B2A

Diagnose und tutorielle Förderung

aus den eben beschriebenen Modellen zur Rekonstruktion richtiger und falscher Lösungen lassen sich eine Reihe von Erkenntnissen gewinnen. Aufgrund des detailierten Bildes über korrekte und fehlerhafte Komponenten beim Lösen von Aufgaben kann im Stadium des Lernens direkt auf fehlerhafte Wissenskomponenten eingegangen werden.

weitergehend könnte man nun nicht nur nach den Ursachen falscher Lösungen Fragen sondern auch nach der Entstehung falschen Wissens:

Generativer Ansatz

Erwerb von korrektem und fehlerhaftem Wissen. Die bisherigen Modelle erklären nicht, wie es zu falschem Wissen kommt. Auch beruht die Diagnose auf einer Fehlerbibliothek, die nicht unbedingt vollständig sein muß und kompliziert zu ermitteln ist

Flickwerktheorie von Brown und Van Lehn

Schüler umgehen bei einem Algorithmus, den sie nur unvollständig beherrschen die Sackgasse, indem sie sich etwas zusammenreimen $\Rightarrow$ ein ,,zusammengeflickter`` Algorithmus $\Rightarrow$ Fehler möglich.

Lernsystem SIERRA von Van Lehn

basiert auf einer Theorie des induktiven Lernens. Erwerb fehlerhafter Prozeduren wird vorallem auf ungünstig gewählte Beispiele zurückgeführt.

Für induktives Lernen vorteilhafte Aufgabengestaltung

die Aufgaben müssen so sein, daß jede weitere Lektion nur eine zusätzliche Prozedur enthält

die Anzahl der Aufgaben zum Erwerb der Prozedur darf ein Minimum nicht unterschreiten

alle Zwischenschritte sind sichtbar zu machen(da sie induktiv nicht erschlossen werden)

durch eine neue Lektion wird das bisher gelernte weitgehend nicht umstrukturiert